Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE交AC于F
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）求證：DF∥AB，DF=

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AB．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，得∠B=∠ACB，又有外角及角平分線的性質(zhì)可得AN∥BC，再由垂直關(guān)系即可得出結(jié)論．
（2）由矩形的對(duì)角線相等且互相平分，得出∠FDC=∠FCD=∠B，即可DF∥AB，再由中位線定理可得DF=

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2

AB．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ACB，
又∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠MAN=∠ACB，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=

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×180°=90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；

（2）∵四邊形ADCE為矩形，
∴∠FDC=∠FCD，
∴∠FDC=∠B，
∴DF∥AB，
∵D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
∴在△ABC中，DF=

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2

AB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線的判定及三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)等，能夠掌握并熟練運(yùn)用．