Question

【題目】如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接BF，延長BA，過F作FG⊥BA，垂足為G.

(1)求證：FG是⊙O的切線；

(2)已知FG＝2，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 圖中陰影部分的面積為.

【解析】

（1）連接OF，AO，根據題意可得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，再利用OB＝OF，證明AB∥OF，即可解答

（2）先利用等弧對等角求出△AOF是等邊三角形，再證明S△ABF＝S△AOF，即可解答

(1)證明：連接OF，AO，

∵AB＝AF＝EF，

∴，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠BFO＝30°，

∴∠ABF＝∠OFB，

∴AB∥OF，

∵FG⊥BA，

∴OF⊥FG，

∴FG是⊙O的切線；

(2)解：∵，

∴∠AOF＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴∠AFO＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∵FG＝2，

∴AF＝4，

∴AO＝4，

∵AF∥BE，

∴S△ABF＝S△AOF，

∴圖中陰影部分的面積＝.