Question

【題目】如圖1，在三角形中，，和關于對稱

(1)將圖1中的以為旋轉中心，逆時針方向旋轉角，使，得到如圖2所示的，分別延長和交于點，則四邊形的形狀是　 　；

(2)將圖1中的以為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角，使，得到如圖3所示的，連接和，得到四邊形，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；

(3)如圖3中，，將沿著射線方向平移，得到，連接，使四邊形恰好為正方形，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）四邊形BCC′D是矩形，理由見解析；（3）a的值為或．

【解析】

（1）由對稱的性質結合題意得出DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，由旋轉的性質得出∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，證出AC∥DE，AC′∥BE，得出四邊形ACEC′是平行四邊形，由旋轉可得：AC＝AC′，即可得出四邊形ACEC′是菱形；

（2）過點A作AE⊥C′C于點E，由旋轉的性質，得AC′＝AC，得出∠CAE＝∠C′AE＝ α＝∠BAC，∠AEC′＝90°，由等腰三角形的性質得出∠BCA＝∠BAC，進而得出∠CAE＝∠BCA，證出AE∥BC．同理，AE∥DC′，得出BC∥DC′，證出四邊形BCC′D是平行四邊形，求出∠BCC'＝90°，即可得出四邊形BCC′D是矩形；

（3）過點B作BF⊥AC于F，證明△ACE∽△CBF，得出，求出CE＝，由等腰三角形的性質得出CC′＝2CE＝，當四邊形BCC′'D′恰好為正方形時，分兩種情況：①C′'在邊CC′上時，a＝CC′CC'；②當點C′'在C′C的延長線上時，a＝CC′＋CC'．

解：（1）∵△ADC和△ABC關于AC對稱，

∴DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，

∵BA＝BC，

∴DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，

∵△ACD以A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉角α，使α＝∠BAC，得到△AC′D，

∴∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，

∴AC∥DE，AC′∥BE，

∴四邊形ACEC′是平行四邊形，

由旋轉可得：AC＝AC′，

∴四邊形ACEC′是菱形，

故答案為：菱形；

（2）四邊形BCC′D是矩形；

理由：過點A作AE⊥C′C于點E，如圖3所示：

由旋轉的性質，得AC′＝AC，

∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，∠AEC′＝90°，

∵BA＝BC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴∠CAE＝∠BCA，

∴AE∥BC，

同理，AE∥DC′，

∴BC∥DC′，

∵BC＝DC′，

∴四邊形BCC′D是平行四邊形，

∵AE∥BC，∠AEC′＝90°，

∴∠BCC′＝90°，

∴四邊形BCC′D是矩形；

（3）過點B作BF⊥AC于F，

∵BA＝BC，

∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，

在Rt△BCF中，BF＝，

∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴，即，

解得：CE＝，

∵AC＝AC′，AE⊥CC′，

∴CC′＝2CE＝，

當四邊形BCC′'D′恰好為正方形時，CC'＝BC＝，

分兩種情況：①C′'在邊CC′上時，如圖4所示：

則a＝CC′CC'＝；

②當點C′'在C′C的延長線上時，如圖5所示：

則a＝CC′＋CC'＝；

綜上所述，a的值為或．