Question

【題目】一節數學課后，老師布置了一道課后練習：△ABC是等邊三角形，點D是線段BC上的點，點E為△ABC的外角平分線上一點，且∠ADE＝60°，如圖①，當點D是線段BC上（除B，C外）任意一點時，求證：AD＝DE

（1）理清思路，完成解答

本題證明思路可以用下列框圖表：

根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程；

（2）特殊位置，計算求解

當點D為BC的中點時，等邊△ABC的邊長為6，求出DE的長；

（3）知識遷移，探索新知

當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC時，若AB＝2，請直接寫出△ADE的面積（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）3．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；

（2）解直角三角形求出AD即可解決問題．

（3）只要證明∠BAD＝90°，利用勾股定理求出AD，再證明△ADE是等邊三角形即可解決問題．

（1）證明：如圖①中，過點D作DF∥AC，交AB于點F．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°，

又∵DF∥AC，

∴∠BDF＝∠BFD＝60°，

∴△BDF是等邊三角形，BF＝BD，∠BFD＝60°，

∴AF＝CD，∠AFD＝120°，

∵EC是外角的平分線，

∠DCE＝120°＝∠AFD，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B+∠FAD＝60°+∠FAD，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC，

∴∠FAD＝∠EDC，

在△AFD≌△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD＝DE．

（2）如圖②中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC＝6，

∵BD＝DC＝3，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴AD＝＝3，

由（1）可知：DE＝AD＝3．

（3）如圖3中，

∵CA＝CD＝CB＝2，

∴∠BAD＝90°，

∴AD＝＝2，

∵∠ADE＝60°，∠ADB＝30°，

∴∠BAD＝∠EDC＝90°，

∵ECD＝60°，

∴DE＝CDtan60°＝2，

∴AD＝DE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴S△ADE＝×（2）2＝3．