Question

【題目】對于二次函數和一次函數，把 稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線L．現有點A（2，0）和拋物線L上的點B（﹣1，n），請完成下列任務：

【嘗試】（1）當t=2時，拋物線 的頂點坐標為　 　；

（2）判斷點A　 　(填是或否)在拋物線L上；

（3）n的值是　 　；

【發現】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線L總過定點，坐標為　 　　 　．

【應用】二次函數是二次函數和一次函數的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】【嘗試】（1，-2） 是 n=6；【發現】 （2，0）、（﹣1，6）；【應用】不是 理由見解析.

【解析】試題分析：

【嘗試】

（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；

（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；

（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

【發現】

將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．

【應用】

將【發現】中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=-3x2+5x+2中進行驗證即可．

解：（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2）；

（2）點A在拋物線E上，

理由如下：∵將x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴點A（2，0）在拋物線E上．

（3）∵點B（-1，n）在拋物線E上，

∴將x=-1代入拋物線E的表達式中，

得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

∵將拋物線E的表達式展開，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴拋物線E必過定點（2，0）、（-1，6）；

（4）不是．

∵將x=-1代入y=-3x2+5x+2，得y=-6≠6，

∴二次函數y=-3x2+5x+2的圖象不經過點B．

∴二次函數y=-3x2+5x+2不是二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”．