Question

【題目】如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．

（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點P作PG⊥EF于點G，如圖1所示．

∵PE=PF=6，EF=6 ，

∴FG=EG=3 ，∠FPG=∠EPG= ∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG= = = ，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=120°．

（2）

解：過點P作PM⊥AB于點M，作PN⊥AD于點N，如圖2所示．

∵AC為菱形ABCD的對角線，

∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM= ∠DAB=30°，

∴AM=AN=APcos30°=10× =5 ，

∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10

（3）

解：如圖，

當△EFP的三個頂點分別在AB，AD，AC上運動，點P在P1，P之間運動，

∴P1O=PO=3，AO=9，

∴AP的最大值為12，AP的最小值為6

【解析】（1）根據銳角三角函數求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，再根據銳角三角函數求解即可，（3）根據運動情況及菱形的性質判斷求出AP最大和最小值．此題是菱形的性質題，主要考查了菱形的性質，銳角三角函數，特殊角的三角函數，解本題的關鍵是作出輔助線．