Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y=﹣ x與反比例函數y= 的圖象交于關于原點對稱的A，B兩點，已知A點的縱坐標是3．

（1）求反比例函數的表達式；
（2）將直線y=﹣ x向上平移后與反比例函數在第二象限內交于點C，如果△ABC的面積為48，求平移后的直線的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令一次函數y=﹣ x中y=3，則3=﹣ x，

解得：x=﹣6，即點A的坐標為（﹣6，3）．

∵點A（﹣6，3）在反比例函數y= 的圖象上，

∴k=﹣6×3=﹣18，

∴反比例函數的表達式為y=﹣

（2）

解：∵A、B兩點關于原點對稱，

∴點B的坐標為（6，﹣3），

∴AB= =6 ．

設平移后的直線的函數表達式為y=﹣ x+b（b＞0），即x+2y﹣2b=0，

直線y=﹣ x可變形為x+2y=0，

∴兩直線間的距離d= = b．

∴S△ABC= ABd= ×6 × b=48，

解得：b=8．

∴平移后的直線的函數表達式為y=﹣ x+8．

【解析】（1）將y=3代入一次函數解析式中，求出x的值，即可得出點A的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數的表達式；（2）根據A、B點關于原點對稱，可求出點B的坐標以及線段AB的長度，設出平移后的直線的函數表達式，根據平行線間的距離公式結合三角形的面積即可得出關于b的一元一次方程，解方程即可得出結論．本題考查了反比例函數與一次函數交點的問題、反比例函數圖象上點的坐標特征．三角形的面積公式以及平行線間的距離公式，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）找出關于b的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用平行線間的距離公式要比通過解直角三角形簡潔不少．