Question

【題目】（數學閱讀）

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點P為邊BC上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD＋PE＝CF．

小堯的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF．

（推廣延伸）

如圖3，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，請運用上述解答中所積累的經驗和方法，猜想PD，PE與CF的數量關系，并證明．

（解決問題）

如圖4，在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y＝－x＋3，l2：y＝3x＋3，l1，l2與x軸的交點分別為A，B．

(1)兩條直線的交點C的坐標為 ；

(2)說明△ABC是等腰三角形；

(3)若l2上的一點M到l1的距離是1，運用上面的結論，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】【推廣延伸】猜想：PD－PE＝CF，證明見解析；【解決問題】(1)C(0，3)；(2)證明見解析；(3)M(－，2)或M(，4)．

【解析】

【推廣延伸】根據題意，猜想：PD－PE＝CF,由S△APB－S△ACP＝S△ABC進行作答. 【解決問題】(1)由兩直線相交知，聯立方程組，得到C的坐標; (2)根據方程組將A,B點求出，得AB線段長，由勾股定理得AC線段長，即可證明△ABC是等腰三角形；（3）根據上述結論得ME線段長，由此得到M點的坐標.

推廣延伸

猜想：PD－PE＝CF．

證明：如圖，連接AP，

∵ S△APB－S△ACP＝S△ABC，．

∴ AB·PD－AC·PE＝AB·CF．

∵ AB＝AC，

∴ PD－PE＝CF．

解決問題

(1)C(0，3)．

(2)l1：y＝－x＋3，令y＝0，則x＝4，∴A(4，0)．

l2：y＝3x＋3，令y＝0，則x＝－1，∴B(－1，0)，

∴ AB＝5．

在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，

∴ AC2＝AO2＋CO2 ，∴AC＝5．

∴ AB＝AC＝5，∴ △ABC是等腰三角形．

(3)過M點分別作MD⊥AC，ME⊥AB，垂足分別為D、E．

由上面的結論得：ME＋MD＝CO或ME－MD＝CO，

∴ ME＝2或ME＝4，∴ M(－，2)或M(，4)．