Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M,經過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當BC=4,cosC=時，求⊙O的半徑.

 

Answer 1

【答案】

（1）通過證明OM⊥AE即可證明AE與⊙O相切。    

(2）半徑為

【解析】

試題分析：（1）證明：連接OM，則OM=OB

∴∠1=∠2

∵BM平分∠ABC

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴OM∥BC

∴∠AMO=∠AEB

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線

∴AE⊥BC

∴∠AEB=90°

∴∠AMO=90°

∴OM⊥AE

∵點M在圓O上，

∴AE與⊙O相切；

（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線

∴BE=BC，∠ABC=∠C

∵BC=4，cos C=

∴BE=2，cos∠ABC=

在△ABE中，∠AEB=90°

∴AB=

=6

設⊙O的半徑為r，則AO=6-r

∵OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴=

∴=

解得r=

∴⊙O的半徑為

考點：切線判定 等腰三角的性質 相似三角形的判定和性質 解直角三角形

點評：此題是綜合題，考查等腰三角形，平行線，角平分線，直線和圓的位置關系，相似三角形等知識點