Question

【題目】如圖，D是△ABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，FB的延長線交于點P，且PC=PB．

（1）求證：BG∥CD；

（2）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20°或40°．

【解析】

（1）根據等邊對等角得：∠PCB=∠PBC，由四點共圓的性質得：∠BAD+∠BCD=180°，從而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根據平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC=∠AGB=90°，根據同位角相等可得結論；

（2）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC=DH，根據特殊的三角函數值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分兩種情況：

①當點O在DE的左側時，如圖2，作輔助線，構建直角三角形，由同弧所對的圓周角相等和互余的性質得：∠AMD=∠ABD，則∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得結論；

②當點O在DE的右側時，如圖3，同理作輔助線，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得結論．

（1）證明：如圖1，

∵PC=PB，

∴∠PCB=∠PBC，

∵四邊形ABCD內接于圓，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠PCB=180°，

∴∠BAD=∠PCB，

∵∠BAD=∠BFD，

∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，

∴BC∥DF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥CD；

（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，

∴四邊形BCDH是平行四邊形，

∴BC=DH，

在Rt△ABC中，∵AB=DH，

∴tan∠ACB=，

∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，

∴∠ADB=60°，BC=AC，

∴DH=AC，

①當點O在DE的左側時，如圖2，作直徑DM，連接AM、OH，則∠DAM=90°，

∴∠AMD+∠ADM=90°

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∴∠BDE+∠ABD=90°，

∵∠AMD=∠ABD，

∴∠ADM=∠BDE，

∵DH=AC，

∴DH=OD，

∴∠DOH=∠OHD=80°，

∴∠ODH=20°

∵∠AOB=60°，

∴∠ADM+∠BDE=40°，

∴∠BDE=∠ADM=20°，

②當點O在DE的右側時，如圖3，作直徑DN，連接BN，

由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，

∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，

綜上所述，∠BDE的度數為20°或40°．