Question

【題目】如圖，拋物線 y=ax2+bx﹣與 x 軸交于 A（1，0）、B（6，0）兩點，D 是 y 軸上一點，連接 DA，延長 DA 交拋物線于點 E．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若 E 點在第一象限，過點 E 作 EF⊥x 軸于點 F，△ADO 與△AEF 的面積比為=，求出點 E 的坐標；

（3）若 D 是 y 軸上的動點，過 D 點作與 x 軸平行的直線交拋物線于 M、N 兩點， 是否存在點 D，使 DA2=DMDN？若存在，請求出點 D 的坐標；若不存在，請說 明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為 y=﹣x2+x﹣；（2）E 點坐標是（4，）；（3）D 點坐標為（0，﹣）或（0，3）．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據相似三角形的判定與性質，可得 AF 的長，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（3）根據兩點間距離，可得 AD 的長，根據根與系數的關系，可得 x1x2，根據

DA2=DMDN，可得關于 n 的方程，解方程，即可得答案．

（1）將 A（1，0），B（6，0）代入函數解析式，得，

解得，

拋物線的解析式為 y=﹣x2+x﹣；

（2）∵EF⊥x 軸于點 F，

∴∠AFE=90°，

∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，

∴△AOD∽△AFE，

∵==，

∵AO=1，

∴AF=3，OF=3+1=4，

當 x=4 時，y=﹣×42+×4﹣=，

∴E 點坐標是（4，）；

（3）存在點 D，使 DA2=DMDN，理由如下：

設 D 點坐標為（0，n），

AD2=1+n2，

當 y=n 時，﹣x2+x﹣=n

化簡，得﹣3x2+21﹣18﹣4n=0， 設方程的兩根為 x1，x2， x1x2=

DM=x1，DN=x2，

DA2=DMDN，即 1+n2=，

化簡，得

3n2﹣4n﹣15=0， 解得 n1=，n2=3，

∴D 點坐標為（0，﹣）或（0，3）．