Question

【題目】已知兩個函數，如果對于任意的自變量x，這兩個函數對應的函數值記為y1 ， y2 ， 都有點（x，y1）、（x，y2）關于點（x，x）對稱，則稱這兩個函數為關于y=x的對稱函數．例如， 和 為關于y=x的對稱函數．
（1）判斷：① 和 ；② 和 ；③ 和 ，其中為關于y=x的對稱函數的是（填序號）．
（2）若 和 （ ）為關于y=x的對稱函數．
①求k、b的值．
②對于任意的實數x，滿足x>m時， 恒成立，則m滿足的條件為 ．
（3）若 和 為關于y=x的對稱函數，且對于任意的實數x，都有 ，請結合函數的圖象，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）①②
（2）解: ①y1=3x+2和y2=kx+b（k≠0）為關于y=x的對稱函數,得 =x．化簡,得（3+k）x+（2+b）=2x．3+k=2,2+b=0．解得k=-1,b=-2．②x＞m時,y1＞y2恒成立,得3x+2＞-x-2．解得x＞-1,m≥-1
（3）解 由y1=ax2+bx+c（a≠0）和y2=x2+n為關于y=x的對稱函數，得

=x．

解得a=-1，b=2，c=-n．

對于任意的實數x，都有y1＜y2，得

x2+n＞-x2+2x-n．

化簡，得

x2+n＞x，

即x2-x+n＞0，

△=（-1）2-4n＜0，

解得n＞

【解析】解:（1）①y1=3x和y2=-x， = =x，y1=3x和y2=-x關于y=x對稱函數；

②y1=x+1和y2=x-1， = =x，y1=x+1和y2=x-1關于y=x對稱；

③y1=x2+1和y2=x2-1， = =x2≠x，y1=x2+1和y2=x2-1不關于y=x對稱；