Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若 ，半徑OA=3，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

（2）解：連接BE，AD，∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，BD=DC，

∵sinC= ，

∴sin∠ABC= ，

∵AB=2OA=6，

∴AD=2 ，

∴BD= ，

∴BC=2BD= ，

在Rt△BEC中，∵sinC= ，

∴BE= BC= ，

在Rt△ABE中，AE=

【解析】（1）要證切線可連接半徑，證垂直，即證OD⊥DF即可；（2）出現直徑時，連接BE，AD，構造出90度的圓周角，利用sinC的定義，求出BE,再利用勾股定理求出AE.
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理和切線的判定定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．