Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，四邊形ABDE是平行四邊形，AC、DE相交于點O．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE對角線的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB=DE，

又∵AB=AC，

∴DE=AC．

∵AB=AC，D為BC中點，

∴∠ADC=90°，

又∵D為BC中點，

∴CD=BD．

∴CD∥AE，CD=AE．

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∴∠ADC=90°，

∴四邊形ADCE是矩形．

（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，

∴AO=EO，

∴△AOE為等邊三角形，

∴AO=4，

故AC=8．

【解析】（1）根據四邊形ABDE是平行四邊形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四邊形ADCE是矩形．（2）根據∠AOE=60°和矩形的對角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長，從而得到矩形ADCE對角線的長．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．