Question

【題目】如圖所示，線段AC是⊙O的直徑，過A點作直線BF交⊙O于A、B兩點，過A點作∠FAC的角平分線交⊙O于D，過D作AF的垂線交AF于E．

（1）證明DE是⊙O的切線；

（2）證明AD2＝2AEOA；

（3）若⊙O的直徑為10，DE+AE＝4，求AB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）8

【解析】

（1）連接OD,由,即可證明

（2）連接CD,根據已知條件證明△ACD∽△ADE即可求解.
（3）過點O作OM⊥AB于點M,則四邊形ODEM為矩形,設DE=OM=x則AE＝4﹣x，AM＝5-(4﹣x)＝1+x，在Rt△AMO中，OA2＝AM2+OM2列出方程求解x再利用垂徑定理即可求解.

（1）證明：連接OD，

∵

∴

∵AD平分

∴

∴

∴AF∥OD

又∵

∴DE為⊙O切線；

（2）證明：連接CD．

∵AC為⊙O的直徑，DE⊥AF

∴∠ADC＝90°，∠DEA＝90°，

∴∠ADC＝∠AED，

∴在△ACD和△ADE中，∠DAC＝∠EAD，∠ADC＝∠AED，

∴△ACD∽△ADE，

∴AD2＝AEAC．

∵AC＝2OA，

∴AD2＝2AEOA；

（3）過點O作OM⊥AB于點M，則四邊形ODEM為矩形，設DE＝OM＝x，則AE＝4﹣x，

∴AM＝5﹣（4﹣x）＝1+x，

在Rt△AMO中，OA2＝AM2+OM2，即：（1+x）2+x2＝52

解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．

∴AM＝4．

∵OM⊥AB，由垂徑定理得：AB＝2AM＝8．