Question

【題目】【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sin α＝，求sin 2α的值．

小娟是這樣給小蕓講解的：

如圖①，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 設∠BAC＝α，則sin α＝＝.易得∠BOC＝2α.設BC＝x，則AB＝3x，AC＝2 x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝＝________.

【問題解決】已知，如圖②，點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P＝β，sin β＝，求sin 2β的值．

Answer 1

【答案】；;sin 2β＝.

【解析】試題分析：（1）如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα==，可設BC=x，則AB=3x．利用面積法求出CD= ，在Rt△COD中， sin2α==．（2）如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．先證明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=，設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=NQ=，可得MQ==4k，由MNMQ=NQMR，求出MR=，在Rt△MRO中，根據sin2β=sin∠MON=，計算即可求得sin 2β的值．

試題解析：

（1）；

（2）如圖，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R.

在⊙O中，∠NMQ＝90°.

∵∠Q＝∠P＝β，

∴∠MON＝2∠Q＝2β.

在Rt△QMN中，

∵sin β＝，

∴設MN＝3k，則NQ＝5k，

∴MQ＝＝4k，

OM＝NQ＝k.

∵S△NMQ＝MN·MQ＝NQ·MR，

∴3k·4k＝5k·MR.

∴MR＝k.

在Rt△MRO中，

sin 2β＝sin ∠MON＝＝＝.