Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，O在AB上，以O為圓心，OB長為半徑的圓與BC交于點D，DE⊥AC于E.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若AC與⊙O相切于F，AB＝5，sinA＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OD，由OB=OD，AB=AC，可得到∠ODB=∠C，即OD∥AC，而DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，從而得到DE是⊙O的切線．

（2）根據切線的性質定理,連接過切點的半徑,運用銳角三角函數的定義,用半徑表示OA的長,再根據AB的長列方程求解.

(1)證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，(2分)∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．

(2)解：連接OF，則OF⊥AC.∵在Rt△OAF中，sinA＝＝，∴OA＝OF.又∵AB＝OA＋OB＝5，∴OF＋OF＝5，∴OF＝，∴⊙O的半徑為.