Question

【題目】大家見過形如x+y＝z，這樣的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是適合該方程的一個正整數解，法國數學家費爾馬早在17世紀還研究過形如x2+y2＝z2的方程．

（1）請寫出方程x2+y2＝z2的兩組正整數解：　 　．

（2）研究直角三角形和勾股數時，我國古代數學專著（九章算術）給出了如下數：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇數），那么，以a，b，c為三邊的三角形為直角三角形，請你加以驗證．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）驗證見解析．

【解析】

（1）根據勾股數即可得出答案；

（2）先分別求出、、，進而求出=，即可得出結論．

解：（1）當，時，，

當，時，，

方程的兩組正整數解為或，

故答案為或；

（2）以已知的，，為三邊的三角形為直角三角形，

理由：∵，，，

，

，

以，，為三邊的三角形為直角三角形，其中，為直角邊，為斜邊．