Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點 E，H 分別在 BC，AB 上，點 G 在 BA 的延長線上， 且 CE＝AG，DE⊥CH 于 F．

（1）求證：四邊形 GHCD 為平行四邊形．

（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ECF 互余的角．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠FEC，∠BHC，∠BGD，∠ADE，∠HCD

【解析】

（1）先證△ECD≌△GAD，得到∠EDC=∠ADG，再推到GD∥HC，從而證平行四邊形；

（2）利用矩形頂角為90°，HC⊥ED，可推導∠BHC，∠HCD，∠FEC與∠ECF互余，再利用△ECD≌△GAD，可以推導得到∠BGD，∠ADE與∠ECF互余.

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ECD=∠GAD=90°，CD=AD，HG∥CD

∵EC=AG

在△ECD和△GAD

∴△ECD≌△GAD（SAS）

∴∠EDC=∠GDA

∵∠ADE+∠EDC=90°

∴∠GDA+∠ADE=90°

∵HC⊥ED，∴∠HFD=90°

∴GD∥HC

∴四邊形GHCD是平行四邊形

（2）∵∠BCD=90°，∴∠HCD與∠ECF互余

∵ED⊥HC，∴∠FEC與∠ECF互余

∵∠B=90°，∴∠BHC與∠ECF互余

∵△ECD≌△GAD，∴∠BGD=∠CED，∴∠BGD與∠ECF互余

∵已證∠GDF=90°，∴∠ADE與∠ECF互余