Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A是反比例函數y=（k≠0）圖象上一點，AB⊥x軸于B點，一次函數y=ax+b（a≠0）的圖象交y軸于D（0，－2），交x軸于C點，并與反比例函數的圖象交于A，E兩點，連接OA，若△AOD的面積為4，且點C為OB中點．

（1）分別求雙曲線及直線AE的解析式；

（2）若點Q在雙曲線上，且S△QAB=4S△BAC，求點Q的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x－2；（2）Q點的坐標為（12， ）或（－4，－2）．

【解析】試題分析：（1）先根據點D的坐標和△AOD的面積，求得點C的坐標，再結合點C為OB中點，求得點A的坐標，最后運用待定系數法求得反比例函數和一次函數的解析式；

（2）先設Q的坐標為（t， ），根據條件S△QAB=4S△BAC求得t的值，進而得到點Q的坐標．

試題解析：（1）∵D（0，-2），△AOD的面積為4，

∴×2×OB=4，

∴OB=4，

∵C為OB的中點，

∴OC=BC=2，C（2，0）

又∵∠COD=90°

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠OCD=∠ACB=45°，

又∵AB⊥x軸于B點，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴AB=BC=2，

∴A點坐標為（4，2），

把A（4，2）代入y=，得k=4×2=8，

即反比例函數解析式為y=，

將C（2，0）和D（0，-2）代入一次函數y=ax+b，可得

，解得，

∴直線AE解析式為：y=x-2；

（2）設Q的坐標為（t， ），

∵S△BAC=×2×2=2，

∴S△QAB=4S△BAC=8，

即×2×|t-4|=8，

解得t=12或-4，

在y=中，當x=12時，y=；當x=-4時，y=-2，

∴Q點的坐標為（12， ）或（-4，-2）．