Question

【題目】問題探究：
（1）如圖①，點M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點，則四邊形BNDM的面積與四邊形ABCD的面積關系是 ．

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，點M、N分別為AD、BC的中點，MB交AN于點P，MC交DN于點Q，若S△四邊形MPNQ=10，則S△ABP+S△DCQ的值為多少？
（3）問題解決
在矩形ABCD中，AD=2，DC=4，點M、N為AB上兩點，且滿足BN=2AM=2MN，連接MC、MD．若點P為CD上任意一點，連接AP、NP，使得AP與DM交于點E，NP與MC交于點F，則四邊形MEPF的面積是否存最大值？若存在，請求出最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）S四邊形BNDM= S四邊形ABCD
（2）解：連接BD．

∵M、N是AD、BC中點，

∴S△ABM=S△BDM，S△BDN=S△CDN，（等底同高的兩個三角形面積相等）

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD．

同理，S四邊形ANCM= S四邊形ABCD．

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD，

∴S四邊形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10；

（3）連接PM，

設DP=x，則PC=4﹣x，

∵AM∥DP，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵ = 且S△APM= AMAD=1，

∴S△MPE= ，

同理可得，S△MPF= ，

∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ，

當x=2時，上式等號成立，

∴S的最大值為： ．

【解析】解：（1）S四邊形BNDM= S四邊形ABCD，

理由：連接BD，

∵點M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點，

∴S△BDM= S△ABD，S△BDN= S△BCD，

∴S四邊形BNDM=S△BDM+S△BDN= （S△ABD+S△BCD）= S四邊形ABCD，
（2）連接BD．

∵M、N是AD、BC中點，

∴S△ABM=S△BDM，S△BDN=S△CDN，（等底同高的兩個三角形面積相等）

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD．

同理，S四邊形ANCM= S四邊形ABCD．

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD，

∴S四邊形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10；
（3）連接PM，

設DP=x，則PC=4﹣x，

∵AM∥DP，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵ = 且S△APM= AMAD=1，

∴S△MPE= ，

同理可得，S△MPF= ，

∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ，

當x=2時，上式等號成立，

∴S的最大值為： ．

所以答案是：（1）S四邊形BNDM= S四邊形ABCD；（2）10；（3）存在，最大值為.