Question

【題目】如圖1，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．

（1）求證：∠BAG＝∠BGA；

（2）如圖2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分線交AD于點E、交射線GA于點F．求∠AFC的度數；

（3）如圖3，線段AG上有一點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）20°或160°；（3）的值是5或．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠GAD＝∠BGA，然后根據角平分線的定義可得∠BAG＝∠GAD，最后利用等量代換即可求出結論；

（2）根據點E在線段AD上和點E在射線DA的延長線上分類討論，根據畫出對應的圖形，然后根據角平分線的定義、平行線的性質和等量代換分別求出結論即可；

（3）根據點M在BP下方和BP上方分類討論，分別畫出對應的圖形，設∠ABC＝4x，

根據平行線的性質、三角形的內角和定理和角平分線的定義分別表示出∠ABM和∠GBM，即可求出結論．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠GAD＝∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD，

∴∠BAG＝∠BGA；

（2）解：①若點E在線段AD上，

∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，

∴∠GCF＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠GCF＝45°，

∵∠ABC＝50°，

∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD＝65°，

∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；

②若點E在DA的延長線上，如圖4，

∵∠AGB＝65°，∠BCF＝45°，

∴∠AFC＝∠CGF+∠BCF＝115°+45°＝160°；

（3）解：有兩種情況：

①當M在BP的下方時，如圖5，

設∠ABC＝4x，

∵∠ABP＝3∠PBG，

∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，

∵AG∥CH，

∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，

∵∠BCD＝90°，

∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM=∠PBM－PBG=x

∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；

②當M在BP的上方時，如圖6，

同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM=∠PBG＋∠PBM=3x

∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．

綜上，的值是5或．