Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB= BC，連接OE．下列結論：①∠CAD=30°；②SABCD=ABAC；③OB=AB；④OE= BC，成立的個數有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB= BC，

∴AE= BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①正確；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②正確，

∵AB= BC，OB= BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③錯誤；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE= AB，

∴OE= BC，故④正確．

故答案為：C．
首先根據平行四邊形的性質可得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，然后結合條件AE平分∠BAD，可得到∠BAE=∠EAD=60°，故此可證明△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；因為AC⊥AB，所以依據平行四邊形的面積公式可得到SABCD=ABAC，故②正確，然后由AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，可證明AB≠OB，故③錯誤；接下來，依據三角形的中位線的性質定理證明OE=AB，于是得到OE=BC，故④正確．