Question

18．如圖，點M是△ABC內一點，過點M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個小三角形△₁、△₂、△₃（圖中陰影部分）的面積分別是1、4、25．則△ABC的面積是64．

Answer 1

分析 首先過M作BC的平行線交AB、AC于D、E，過M作AC平行線交AB、BC于F、H，過M作AB平行線交AC、BC于I、G，判斷出△₁∽△₂∽△₃，再根據相似三角形的性質，判斷出它們的邊長比為1：2：5；然后判斷出BC、DM的關系，根據相似三角形的面積的比等于它們的相似比的平方，判斷出S_△ABC、S_△FDM的關系，求出△ABC的面積是多少即可．

解答 解：如圖，，
過M作BC的平行線交AB、AC于D、E，過M作AC平行線交AB、BC于F、H，過M作AB平行線交AC、BC于I、G，
根據題意得，△₁∽△₂∽△₃，
∵△₁：△₂=1：4，△₁：△₃=1：25，
∴它們的邊長比為1：2：5，
又∵四邊形BDMG與四邊形CEMH為平行四邊形，
∴DM=BG，EM=CH，
設DM為x，
則BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，
∴BC：DM=8：1，
∴S_△ABC：S_△FDM=64：1，
∴S_△ABC=1×64=64．
故答案為：64．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．