Question

9．已知實數$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$的整數部分為a，小數部分為1-b．則$\frac{（b-1）（5-b）}{\sqrt{{a}^{2}-{3}^{2}}}$的值為-1．

Answer 1

分析 已知實數分母有理化變形后確定出a與b，代入原式計算即可求出值．

解答 解：$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{6+4\sqrt{2}}{2}$=3+2$\sqrt{2}$，
∵1＜2＜4，
∴1＜$\sqrt{2}$＜2，即5＜3+2$\sqrt{2}$＜6，
∴a=5，1-b=3+2$\sqrt{2}$-5，即b=3-2$\sqrt{2}$，
則原式=$\frac{（2-2\sqrt{2}）（2+2\sqrt{2}）}{4}$=-1．
故答案為：-1

點評 此題考查了估算無理數的大小，估算出$\sqrt{2}$的大小是解本題的關鍵．