Question

如圖1、圖2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處．
（1）求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比；
（2）求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比（直接出答案）；
（3）根據前面探索和圖3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況，（n為大于2的偶數）若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）方法一：
連接OA，OB，過點O作OM⊥AB，垂足為M．
∵點O是正方形ABCD外接圓圓心，
∴OA=OB．
∵正方形ABCD，
∴OM=

1

2

AB，
∴S_△ABO=

1

4

S_{正方形ABCD}．（1分）
∵∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45度．（2分）
又∵∠A'OC'=90°，∠AOF+∠A'OB=∠A'OB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE．
∴△AOF≌△BOE．（3分）
∴S_△AOF=S_△BOE．
∴重疊部分面積=S_△BOF+S_△BOE=S_△BOF+S_△AOF=S_△ABO=

1

4

S_{正方形ABCD}．
∴S_陰影=

3

4

S_{正方形ABCD}．
∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：3．（4分）
方法二：過正方形ABCD的外接圓圓心O分別作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M，N．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∴OM=ON=

1

2

AB．（1分）
∵∠ABC=90°，
∴四邊形MBNO為矩形．
∵OM=ON，
∴四邊形MBNO為正方形．
∴S_{正方形MBNO}=

1

4

S_{正方形ABCD}．（2分）
∵∠FOE=90°，
∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度．
∴∠FOM=∠EON．
∴△FOM≌△EON．（3分）
∴S_△FOM=S_△EON．
∴重疊部分面積=S_△FOM+S_{四邊形MBEO}=S_{四邊形MBEO}+S_△EON=S_{正方形MBNO}=

1

4

S_{正方形ABCD}．
∴S_陰影=

3

4

S_{正方形ABCD}．
∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：3．（4分）

（2）1：2；（5分）

（3）n邊形的每一個內角度數=

(n-2)180

n

，陰影部分對應的中心角=360°-

(n-2)180

n

=

(n+2)180

n

，
兩個相同正n邊形重疊部分面積與陰影部分面積之比=

(n-2)180

n

：

(n+2)180

n

=（n-2）：（n+2）．
但當邊數超過六以后，正多邊形的邊長小于半徑，因而結論不適合推廣．（7分）