Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠CAB的平分線交⊙O于點D，過點D作BC的平行線分別交AC，AB的延長線于點E，F.

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)設AC=x，AF=y，試用含x，y的代數式表示線段AD的長；

(3)若BF=2，，求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)AD=.

【解析】

(1)連接OD，通過AB為直徑和平行線證∠E=∠ACB=90°，再通過角平分線和半徑相等，證出∠ODA＝∠EAD，進而得到EA∥OD，根據兩直線平行，同位角相等得出∠ODF＝∠E＝90°，進而證出EF是⊙O的切線．

（2）連接CD.通過平行線及同弧所對的圓周角相等得出兩對角相等，證明△FAD∽△DAC，得出比例式代入數值即可.

(3)設⊙O半徑為r．在Rt△DOF中和Rt△ABC中，，根據，求得r＝1．

再根據，求得AC的長，再求得AF的長，代入（2）中結論即可求出AD的長.

(1)連接OD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∵EF∥CB，

∴∠E＝∠ACB＝90°．

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．

又∠OAD＝∠EAD，

∴∠ODA＝∠EAD．

∴EA∥OD．

∴∠ODF＝∠E＝90°．

∴EF是⊙O的切線．

(2)連接CD．

∵EF∥BC，

∴∠ABC＝∠F．

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠F＝∠ADC．

∵∠DAF＝∠CAD，

∴△FAD∽△DAC．

∴．

∴AD2＝FA·CA＝xy．

即．

(3)設⊙O半徑為r．

Rt△DOF中，，即．解得r＝1．

Rt△ABC中，，即．

∴AC＝．

又AF＝1＋1＋2＝4，

由(2)知．