Question

【題目】如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0），現有射線CP繞著點C從CA順時針以每秒2度的速度旋轉到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

(1)當射線CP與△ABC的外接圓相切時，求射線CP旋轉度數是多少？

(2)當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時，點E處的讀數分別是多少？

(3)當旋轉7.5秒時，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

【答案】(1)射線CP旋轉度數是120°；(2)E處的讀數為90；(3)證明見解析.

【解析】

(1) 連接OC. 根據切線的性質, 得∠OCP=, 根據等腰三角形的性質,得∠ACO=∠A, 從而求得射線CP旋轉度數；

(2) 當CP過△ABC外心時 (即過O點)時,∠BCE=, 根據圓周角定理, 則點E處的讀數是;當CP過△ABC的內心時, 即CP平分∠ACB, 則∠BCE=, 根據圓周角定理,則點E處的讀數是.

(3) 根據已知, 知旋轉了, 即可求得∠EBC=∠BCE=, 從而證明結論.

(1)連接OC．

∵射線CP與△ABC的外接圓相切，

∴∠OCP=90°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A=30°，

∴射線CP旋轉度數是120°；

(2)

∵∠BCA=90°，

∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓．

當CP過△ABC外心時（即過O點），∠BCE=60°，

∴∠BOE=120°，即E處的讀數為120，

當CP過△ABC的內心時，∠BCE=45°，∠EOB=90°，

∴E處的讀數為90．

(3)在圖2中，

∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，

∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，

∴BE=EC．