Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）若AG=7、GF=3，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接DE交AF于H，先根據DF=EG，DF∥EG，判定四邊形DFEG是平行四邊形，再根據GF⊥DE，即可得出四邊形EFDG是菱形；

（2）根據條件得到FH=GF=，AF=10，再根據Rt△ADF中，DH⊥AF，運用射影定理即可得到DF2=FH×FA，進而得出DF的長．

試題解析： (1)如圖，連接DE交AF于H，

由折疊可得，AF⊥DE，DF=EF，∠DFG=∠EFG，

∵EG∥CD，

∴∠DFG=∠EGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EG=EF，

∴DF=EG，

∵DF∥EG，

∴四邊形DFEG是平行四邊形，

∵GF⊥DE，

∴四邊形EFDG是菱形；

(2)∵四邊形EFDG是菱形，

∴FH=GF=，

∵AG=7，GF=3，

∴AF=10，

∵Rt△ADF中，DH⊥AF，

∴DF2=FH×FA，

即DF==.