Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，

(1)求證：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的長；
(3)延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

(1)見解析                
(2) AB=．                 
(3)直線FA與⊙O相切．

（1）由AB=AC可得弧AB=弧AC，根據在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等有∠D=∠ABC，根據相似三角形的判定易得到△ABE∽△ADB；
（2）由△ABE∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例，即AB：AD=AE：AB，即可計算出AB的長；
（3）連OA，則AB=BF=OB=OA=，可得到△OAB為等邊三角形，則∠OAB=∠OBA=60°，并且有∠F=∠FAB，則∠FAB=30°，于是得到∠FAO=30°+60°=90°，即有FA⊥OA，根據切線的判定定理即可得到直線FA與⊙O相切．