Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在邊BC上，連接CE．請填空：

①∠ACE的度數為　 　；

②線段AC、CD、CE之間的數量關系為　 　．

（2）拓展探究

如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D在邊BC上，連接CE．請判斷∠ACE的度數及線段AC、CD、CE之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題

如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC與BD交于點E，請直接寫出線段AC的長度．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE（3）

【解析】試題分析：(1)、根據等邊三角形的性質得出∠BAD=∠CAE，從而得出△BAD和△CAE全等，從而得出∠ACE=∠B=60°，根據全等得出BD=CE，從而得出AC=CD+CE；(2)、根據第一題同樣的方法得出△BAD和△CAE全等，從而得出BC=CD+CE，然后根據等腰直角三角形的性質得出BC=AC，從而得出答案；(3)、過A作AC的垂線，交CB的延長線于點F，根據題意得出A、B、C、D四點共圓，即∠ADB=∠ACB=45°，根據第二步的結論AC=得出答案．

試題解析：(1)①∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE=∠B=60°，

②線段AC、CD、CE之間的數量關系為：AC=CD+CE；

理由是：由①得：△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∵AC=BC=BD+CD， ∴AC=CD+CE；

（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：

如圖2，∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∵BC=CD+BD， ∴BC=CD+CE，

∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC， ∴AC=CD+CE；

（3）如圖3，過A作AC的垂線，交CB的延長線于點F，

∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1， ∴BD=2，BC=， ∵∠BAD=∠BCD=90°，

∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴A、B、C、D四點共圓， ∴∠ADB=∠ACB=45°，

∴△ACF是等腰直角三角形， 由（2）得： AC=BC+CD， ∴AC===．