Question

如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且OD＝10，

OB＝8．將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉，使點C恰好與x軸上的點A重合．

（1）若拋物線經過A、B兩點，求該拋物線的解析式：______________；

（2）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，

作MN⊥x軸于點N．是否存在點M，使△AMN

與△ACD相似？若存在，求出點M的坐標；

若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）

將A（6，0），B（0，-8）代入拋物線表達式，得，

（2）存在：

如果△AMN與△ACD相似，則或

設M（0<m<6）

1） 假設點M在x軸下方的拋物線上，如圖1所示：

當時，，

即∴∴

如圖2驗證一下：當時，，即

∴（舍）

2）如果點M在x軸上方的拋物線上：當時，，即 ∴ ∴M

此時, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M滿足要求

當時，，即 ∴m=10（舍）

綜上M₁,M₂