Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（-1,0），B（4,0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA，點P是拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，連接PC.

（1）試求拋物線的解析式；
（2）如圖2，當動點P只在第一象限的拋物線上運動時，過點P作PF⊥BC于點F，試問△PFD的周長是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由.
（3）當點P在拋物線上運動時,將△CPD沿直線CP翻折，點D的對應點為點Q,試問,四 邊形CDPQ能否成為菱形?如果能,請求此時點P的坐標；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由OC=3OA， 有：C（0，3），

將 A（-1，0）、B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

得 解之得： ，

故y= 即為所求.

（2）

解：設P（m， ），△PFD的周長為L，

∵直線BC經過B（4,0），C（0,3），易得直線BC的解析式為：yBC= ,

則D（m， ），PD= ，

∵PE⊥x軸，PE//OC，

∴∠BDE=∠BCO，

又∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

而∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD~△BOC.

，

由（1）知，OC=3，OB=4，則BC=5，

故△BOC的周長為12，

∴ 即：L= （m-2）2+ ，

∴當m=2時，L最大= .

（3）

解：存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形.

當點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，

∵由軸對稱的性質知，CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

當點Q落在y 軸上時，CQ∥PD，∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四邊形CDPQ是菱形，

如圖1，過點D作DG⊥y軸于點G，

設P（n， ），則D（n， ），G（0， ），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2= = ，

而PD= ，

∵ PD=CD，

∴ ①

或 ②

解方程①得：n= 或n=0（不符合題意，舍去），

解方程②得：n= 或n=0（不符合題意，舍去）.

當n= 時，P（ ， ），

當n= 時，P（ ， ）.

綜上所述，存在這樣的P點，使得四邊形CDPQ為菱形，此時點P的坐標為P（ ， ）或（ ， ）.

【解析】（1）由OC=3OA，求出點C坐標，再運用待定系數法求；（2）易證得△PFD~△BOC，由相似三角形的周長比等于相似比，求出△PFD的周長與點P橫坐標的關系，再求最值；（3）由PD//y軸，且CP為四邊形CDPQ的對角線，則Q在y軸上時，四邊形CDPQ為菱形，根據PD=CD，列方程解出答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．