Question

【題目】如圖1，等邊△OAB的頂點A在x軸的負半軸上，點B（a，b）在第二象限內，且a，b滿足.點P是y軸上的一個動點，以PA為邊作等邊△PAC，直線BC交x軸于點M，交y軸于點D.

(1)求點A的坐標；

(2)如圖2，當點P在y軸正半軸上時，求點M的坐標；

(3)如圖3，當點P在y軸負半軸上時，求出OP，CD，AD滿足的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)A（－4，0）；(2)M（4，0）；(3)OP= CD+AD，證明見解析.

【解析】

（1）如圖1中，作BN⊥AO于N．由非負數的性質求出點B坐標即可解決問題；

（2）只要證明△ABC≌△AOP，得出∠ABC=∠AOP=90°，在Rt△ABM中，解直角三角形即可解決問題；

(3)如圖3中，取AD的中點R，連接BR、OR．首先證明A、B、D、O四點共圓，推出∠BAD=∠BOD=90°-60°=30°，可得BD=AD，再證明△OAP≌△BAC，可得OP=BC=CD+BD=CD+AD.

（1）如圖1中，作BN⊥AO于N．

∵，

∴a=-2，b=2，

∴B（-2，2），

∵BA=BO，BN⊥OA，

∴NA=NO=2，

∴OA=4，

∴A（-4，0）．

(2) 如圖2中，

∵△ABO，△APC都是等邊三角形，

∴∠OAB=∠PAC，OA=OB，AP=AC，

∴∠OAP=∠BAC，

∴△OAP≌△BAC，

∴∠AOP=∠CBA=90°，

在Rt△ABM中，∵∠ABM=90°，AB=OA=4，∠BAM=60°，

∴AM=2AB=8，

∴OM=AM-OA=4，

∴M（4，0）．

(3) 結論：OP=CD+AD．

理由：如圖3中，取AD的中點R，連接BR、OR．

∵∠ABD=∠AOD=90°，AR=DR，

∴BR=AR=RD=OR，

∴A、B、E、O四點共圓，

∴∠BAD=∠BOD=90°-60°=30°，

∴BD=AD，

∵△ABO，△APC都是等邊三角形，

∴∠OAB=∠PAC，OA=OB，AP=AC，

∴∠OAP=∠BAC，

∴△OAP≌△BAC，

∴OP=BC=CD+BD=CD+AD．

即OP=CD+AD．