Question

【題目】已知，在Rt中，，點是斜邊的中點，，且，于點，聯結．

（1）求證： ；

（2）當時，求的值；

（3）在（2）的條件下，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S△BED：S△MED=1：3；（3）cos∠ABC=．

【解析】

（1）易證∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，從而可證明△MED∽△BCA；

（2）由∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，可知MB=MC=AM，從而可證明MD=CM=MB=AB，從而證得S△AMC=S△BNC=S△ABC，由S△BDM=證得，從而證得S△BED：S△MED=1：3；

（3）由，得到，進一步得到，證得cos∠EMD=，由∠DME=∠CBA，證得cos∠ABC=．

解：（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA，

（2）∵∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，

∴MB=MC=AM=AB，

∵MC=MD，

∴MD=AB，

∴S△AMC=S△BNC=S△ABC，

∵△MED∽△BCA，

∴=（）2=，

∵S△BDM=，

∴，

∴S△BED：S△MED=1：3；

（3）∵，

∴，

∵MD=MB，

∴，

∴cos∠EMD=，

∵∠DME=∠CBA，

∴cos∠ABC=．