Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分線．

（1）如圖1，若E是AC邊上的一個定點，在CD上找一點P，使PA+PE的值最小；

（2）如圖2，若E是AC邊上的一個動點，在CD上找一點P，使PA+PE的值最小，并直接寫出其最小值．

Answer 1

【答案】（1）點P位置見解析；（2）點P位置見解析，5.

【解析】

（1）如圖，過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，于是得到結論；

（2）如圖，過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，則此時，PA+PE的值最小；PA+PE的最小值=EF，根據角平分線的性質得到DA=DF，即點A與點F關于CD對稱，根據直角三角形的性質即可得到結論．

（1）如圖，

過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，

則此時，PA+PE的值最小；

點P即為所求；

（2）如圖，過D作DF⊥BC于F，過F作EF⊥AC交CD于P，

則此時，PA+PE的值最小；

PA+PE的最小值＝EF，

∵CD是角平分線，∠BAC＝90°，

∴DA＝DF，

即點A與點F關于CD對稱，

∴CF＝AC＝10，

∵∠ACB＝30°，

∴EF＝CF＝5．