Question

【題目】如圖，點P( x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個函數圖象C1與C2上的任一點. 當a ≤ x ≤ b時，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，則稱這兩個函數在a ≤ x ≤ b上是“相鄰函數”，否則稱它們在a ≤ x ≤ b上是“非相鄰函數”.

例如，點P(x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個函數y = 3x+1與y = 2x - 1圖象上的任一點，當-3 ≤ x ≤ -1時，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通過構造函數y = x + 2并研究該函數在-3 ≤ x ≤ -1上的性質，得到該函數值的范圍是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此這兩個函數在-3 ≤ x ≤ -1上是“相鄰函數”.

（1）判斷函數y = 3x + 2與y = 2x + 1在－2 ≤ x≤ 0上是否為“相鄰函數”，說明理由；

（2）若函數y = x2 - x與y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數”，求a的取值范圍；

（3）若函數y =與y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數”，直接寫出a的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（1）是“相鄰函數”，理由見解析；（2）；（3）的最大值是2， 的最小值1.

【解析】試題分析：

（1）直接利用相鄰函數的定義結合一次函數增減性，得出當x=0時，函數有最大值1，當x=-2時，函數有最小值-1，即-1≤y≤1，進而判斷即可；

（2）直接利用相鄰函數的定義結合二次函數增減性，得出當x=1時，函數有最小值a-1，當x=0或x=2時，函數有最大值a，即a-1≤y≤a，進而判斷即可；

（3）直接利用相鄰函數的定義結合函數增減性，得出當x=1時，函數有最小值a-2，當x=2時，函數有最大值，即a-2≤y≤，進而判斷最值即可．

試題解析：（1）是“相鄰函數”.

理由如下： ，構造函數.

∵在上隨著x的增大而增大，

∴當x=0時，函數有最大值1，當x=-2時，函數有最小值-1，即

∴-1≤y-y≤1.

即函數在是“相鄰函數”.

（2）

構造函數

∵

∴頂點坐標為(1,a-1)

又∵拋物線開口向上，

當時，函數有最小值，當或時，函數有最大，即,

∵函數與在 “相鄰函數”，

∴，即∴.

（3）的最大值是2， 的最小值1.