Question

【題目】我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，如楊輝三角就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數降冪排列）的系數規律例如，在三角形中第一行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3＝a3+3ab+3ab2+b3展開式中的系數．結合對楊輝三角的理解完成以下問題

（1）（a+b）2展開式a2+2ab+b2中每一項的次數都是　 　次；

（a+b）3展開式a3+3a2b+3ab2+b3中每一項的次數都是　 　次；

那么（a+b）n展開式中每一項的次數都是　 　次．

（2）寫出（a+1）4的展開式　 　．

（3）拓展應用：計算（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的結果中，x5項的系數為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2，3，n；（2）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（3）16.

【解析】

（1）觀察（a+b）2展開式和（a+b）3展開式中各項，即可得答案，從而推出（a+b）n的展開項；

（2）根據楊輝三角圖中可知（a+1）4的展開式的各項系數，即可得解；

（3）（x+1）5中x5項的系數為1；再按楊輝三角，分別求得（x﹣1）6和（x+1）7展開式中x5項的系數，幾個系數相加即可得答案．

解：（1）（a+b）2展開式a2+2ab+b2中的項分別為：a2、2ab、b2，它們的次數都是2，

（a+b）3展開式a3+3a2b+3ab2+b3中的項分別為：a3、3a2b、3ab2、b3，它們的次數都是3，

由此推出（a+b）n展開式的次數都是n，

故答案為：2，3，n；

（2）根據楊輝三角圖中可知（a+1）4的展開式的各項系數分別為：1，4，6，4，1則展開式為：（a+1）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，

故答案為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（3）（x+1）5中x5項的系數為1，

按照楊輝三角可知（x﹣1）6＝x6+6x5（﹣1）+…+1，（x+1）7＝x7+7x6×1+21x5×12+…+1，

∴（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的結果中，x5項的系數為：1+6×（﹣1）+21＝16

故答案為：16．