Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，以點O為圓心的⊙O經過AB的中點C，直線AO與⊙O相交于點E、D，OB交⊙O于點F，P是 的中點，連接CE、CF、BP．

（1）求證：AB是⊙O的切線．

（2）若OA=4，則

①當長為_____時，四邊形OECF是菱形；

②當 長為_____時，四邊形OCBP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②．

【解析】

(1)證明垂直就可以證明是切線.(2)利用四邊形OECF是菱形的性質反推可得到DP長.利用正方形OECF的性質反推可得到DP長.

解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中點，

∴OC⊥AB．

∵OC為⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線．

（2）①∵OECF為菱形，

∴OE=EC，∠EOC=∠COF．

∴OE=EC=OC．

∴∠EOC=∠COF=60°．

∴∠DOF=60°．

又∵P為弧DF的中點，

∴∠DOP=30°．

∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，

∴OC=OA=2．

∴弧DP的長=.

②∵四邊形OCBP為正方形，

∴∠COB=∠POB=45°．

∴OC=OB=2．

∵P為弧DF的中點，

∴∠DOP=45°．

∴弧DP的長=．

故答案為：①；②．