Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A和點B．若N點是AC所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點N作MN平行于軸，交AC于點M．

(1) 求直線AC的解析式；

（2）當點N運動至拋物線的頂點時，求此時MN的長；

（3）設點N的橫坐標為t，MN的長度為l；

①求l與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

②l是否存在最值，有如有寫出最值；

（4）點D是點B關于軸的對稱點．拋物線上是否有點N，使△ODM是等腰三角形？

若存在，請求出此時△CAN的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x-4；（2）當t=2時，l有最大值2，此時N（2，2）；（3）存在，點M的坐標為（2，﹣2），（1，-3），=4或3.

【解析】試題分析：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，過A（4，0）、C（0，-4）兩點，即可求得k、b的值，從而求得直線AC的解析式；（2）求得拋物線的頂點坐標及當x=1時點M的坐標，即可求得MN的長；（3）①設，根據MN=（t-4）-（），化簡即可求得l與t之間的函數關系式，根據圖象直接寫出x的取值范圍即可；②存在，分DO=DM、MO=MD和MO=OD(這種情況不存在)三種情況討論求解即可，第三種情況不存在，可以不寫.

試題解析：

（1）∵拋物線的解析式為：

∴A（4，0）C（0，-4）

∵過A，C兩點

∴

（2）∵拋物線的解析式為：頂點坐標為（1， ）

直線AC的解析式y=x-4,當x=1時，M（1，-3）

∴MN=

（3）①∵

∴ （ 4≤t≤0）

，

∴當t=2時，l有最大值2，此時N（2，2）

（3）存在．

∵點B（-2，0），

∴點D是點B關于y軸的對稱點，∴點D（2，0））

在△ODM中，

（ⅰ）若DO=DM，

∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DM=2。

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°�！唷螪MA=∠OAC=45°。

∴∠ADM=90°。此時，點M的坐標為（2，﹣2）。

（ⅱ）若MO=MD，過點M作MH⊥x軸于點H。

由等腰三角形的性質得：OH=OD=1，∴AH=3，

∴在等腰直角△AHM中，HM=AH=3，

∴M（1，-3）

綜上所述，使得△ODM是等腰三角形，所求點M的坐標為：（2，﹣2），（1，-3）, △CAN的面積為4或3.