Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求證：AC=BD；
（2）若sin∠C= ，BC=12，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD是BC上的高，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵tanB= ，cos∠DAC= ，

又∵tanB=cos∠DAC，

∴ = ，

∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中， ，

故可設AD=12k，AC=13k，

∴CD= =5k，

∵BC=BD+CD，又AC=BD，

∴BC=13k+5k=18k

由已知BC=12，

∴18k=12，

∴k= ，

∴AD=12k=12× =8．

【解析】（1）由于tanB=cos∠DAC，所以根據正切和余弦的概念證明AC=BD；（2）設AD=12k，AC=13k，然后利用題目已知條件即可解直角三角形．
【考點精析】本題主要考查了解直角三角形的相關知識點，需要掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．