Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點 B（﹣1，0），C（2，3），拋物線與y軸的焦點A，與x軸的另一個焦點為D，點M為線段AD上的一動點，設點M的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點M作y軸的平行線，交拋物線于點P，設線段PM的長為1，當t為何值時，1的長最大，并求最大值；（先根據題目畫圖，再計算）

（3）在（2）的條件下，當t為何值時，△PAD的面積最大？并求最大值；

（4）在（2）的條件下，是否存在點P，使△PAD為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）當t=時，l有最大值，l最大=；（3）t=時，△PAD的面積的最大值為；（4）t=.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）易知直線AD解析式為y=-x+3，設M點橫坐標為m，則P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函數的性質即可解決問題；

（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大時，△PAD的面積最大；

（4）如圖設AD的中點為K，設P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解決問題；

試題解析：（1）把點 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，

則有，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，

∴D（3，0），且A（0，3），

∴直線AD解析式為y=﹣x+3，

設M點橫坐標為m，則P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∵0＜t＜3，

∴點M在第一象限內，

∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，l有最大值，l最大=；

（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，

∴PM的值最大時，△PAD的面積中點，最大值=×=．

∴t=時，△PAD的面積的最大值為．

（4）如圖設AD的中點為K，設P（t，﹣t2+2t+3）．

∵△PAD是直角三角形，

∴PK=AD，

∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，

整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，

解得t=0或3或，

∵點P在第一象限，

∴t=.