Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，延長AB到點C，使得2BC=3OB，D是⊙O上一點，連接AD，CD，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點F，過點D作DE⊥AC于點E，且DE=DF．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AB=4．

①求DF的長；

②連接OF，交AD于點M，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①DF的長為；②DM的長為．

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據 DF⊥AF，DE⊥AC，DF=DE，可得∠DAE=∠DAF，由OA=OD，得∠OAD=∠DOA，再根據∠DAF+∠ADF=90°，從而得∠ODA+∠ADF=90°，從而問題得證；

（2）①由已知可得半徑OA=OB=2，再根據2BC=3OB，求得BC=3，再利用三角形的面積即可得DE的長；

②由OD∥AF，得，再根據OC=5，CA=7，AD=AM+DM，從而可得，在Rt△ODE中，求出OE長，在Rt△ADE中，求出AD長，從而可得DM長.

試題解析：（1）如圖，連接OD．

∵DF⊥AF，DE⊥AC，DF=DE，

∴∠DAE=∠DAF，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠DOA，

∵∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠ODA+∠ADF=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥CF，

∴CD是⊙O的切線．

（2）①∵AB=4，

∴OA=OB=2，

∵2BC=3OB，

∴BC=3，

在Rt△OCD中，CD=，

∵OCDE=ODCD，

∴DE=；

②∵OD∥AF，

∴， ，

∵OC=5，AC=7，

∴，∴，

在Rt△ODE中，OE==，

在Rt△ADE中，AD=，

∴DM=．