Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3），動點P在拋物線上．

（1）b= ， c= ， 點B的坐標為；（直接填寫結果）
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）-2；-3；（﹣1，0）
（2）

解：存在．

理由：如圖所示：

①當∠ACP1=90°．

由（1）可知點A的坐標為（3，0）．

設AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0，解得k=1，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3．

∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴點P1的坐標為（1，﹣4）．

②當∠P2AC=90°時．

設AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．

∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=﹣2，x2=3（舍去），

∴點P2的坐標為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）

解：如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC，

∴D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴DF= OC= ．DF= OC=

∴點P的縱坐標是- ．

∴ ，解得： ．

∴當EF最短時，點P的坐標是：（ ，- ）或（ ，- ）．

【解析】解：（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴點B的坐標為（﹣1，0）．
所以答案是：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點和垂線段最短的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用．