Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于點A（-3，0）、點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），點D是第二象限內拋物線上一動點．F點坐標為（-4，0）．

（1）求這條拋物線的解析式；并寫出頂點坐標；

（2）當D為拋物線的頂點時，求△ACD的面積；

（3）連接OD交線段AC于點E．當△AOE與△ABC相似時，求點D的坐標；

（4）在x軸上方作正方形AFMN，將正方形AFMN沿x軸下方向向右平移t個單位，其中0≤t≤4，設正方形AFMN與△ABC的重疊總分面積為S，直接寫出S關于t的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標是（，4）；（2）3；（3）點D的坐標是（，）或（-，2）；（4）

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式，根據函數解析式求得該拋物線的頂點坐標；

（2）過點D作DM∥y軸，交AC于M，連AD，DC，將△ACD拆分成△ADM和△CDM，易求得直線AC的解析式為y=x＋3，即M的坐標為（-1，2）再根據已知坐標可求三角形面積；

（3）連接OD交線段AC于點E，連接BC，分∠AOD=∠ABC時和∠AOD=∠ACB時兩種情況討論，分別利用互相平行兩直線解析式斜率相等和相似比求得直線OE解析式，再聯立OE與拋物線解析式求交點D的坐標即可；

（4）分，，，四種情況討論，作出相應圖形進行面積計算求解即可．

解：（1）∵拋物線與x軸交點坐標為A（-3，0）、點B（1，0），

∴設拋物線解析式為y=a（x＋3）（x-1），

將點C（0，3）代入得：a=-1，

故拋物線解析式為：，

∵，

∴該拋物線的頂點坐標是（，4）；

（2）過點D作DM∥y軸，交AC于M，連AD，DC，

∵A（-3，0）、點B（1，0）

∴AC的解析式為y=x＋3，

∴M的坐標為（-1，2），則DM=2．

∴S△ACD=S△ADM＋S△CDM=×2×2＋×2×1=3；

（3）連接OD交線段AC于點E，連接BC，

∵∠BAC是公共角，

∴當△AOE與△ABC相似時，有2種情況：

①當∠AOD=∠ABC時，OD∥BF，

∵BC的解析式為y=-3x＋3，

則OE的解析式為y=-3x.

解方程組

得：x1=，x2=，

∵點D在第二象限，

∴取，

∴D1（，）．

②當∠AOD=∠ACB時，過E作EH⊥x軸于點H，

則，

即，

解得AE=2，

∵OA=OC，

∴∠CAO=45°，

∴AH=EH=2，OH=1，

∴E點坐標為（-1，2），

則直線OE的解析式為 y=-2x，

解方程組得x1=-，x2=（舍去），

∴D2（-，2），

綜合可得，點D的坐標是（，）或（-，2）；

（4）①當時，如下圖所示，重疊部分面積為圖中陰影的面積，

∵∠CAB=45°，

∴ ，

∴ ，

②當時，如下圖所示，重疊部分面積為圖中陰影五邊形的面積，

∴ ，

，

③當點N在BC上時，由BC的解析式為y=-3x＋3可求得點N坐標為（ ，1），正方形在△ABC的內部，

此時 ，

所以當時，正方形AFMN與△ABC的重疊部分即為正方形面積，

即 ,

④當時，如圖所示，重疊部分面積為圖中陰影五邊形 面積，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

綜上．