Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，MN在邊AB上運動，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點P關于直線AB的對稱點P′，過點P′G⊥BC，交CB的延長線與點G，在P′G上截取P′M′=MN=3，連M′Q交AB于點M，過點P′作P′N∥M′Q交AB于點N，此時PM+MN+NQ的值最小. 根據作法可得PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′，由此求得P′M ′、 QM ′的長即可求解.

如圖，作點P關于直線AB的對稱點P′，過點P′G⊥BC，交CB的延長線與點G，在P′G上截取P′M′=MN=3，連M′Q交AB于點M，過點P′作P′N∥M′Q交AB于點N，此時PM+MN+NQ的值最小.

∵P′N∥M′Q，P′M ′∥M N,

∴四邊形P′M ′MN為平行四邊形，

∴P′N= M ′M，P′M ′=MN=3，

由軸對稱的性質可得PN= P′N，AP=A P′=2,

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′,

∵AB= P′G=3，P′M ′=3，AP′=GB=2,

∴GM ′= 3，GQ=7,

在Rt△GQM P′中，由勾股定理可得，QM ′=.

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′=.

故答案為：.