Question

11．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），點B的坐標為（-8，6），直線BC∥x軸，交y軸于點C，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉α度得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是矩形，當α=90°時，$\frac{BP}{BQ}$的值是$\frac{4}{7}$．
（2）①如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求$\frac{BP}{BQ}$的值；
②如圖3，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在BC的延長線上時，求△OPB′的面積．
（3）在四邊形OABC旋轉過程中，當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據有一個角是直角的平行四邊形進行判斷當α=90°時，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據勾股定理求得PB′的長，再根據三角形的面積公式進行計算．
（3）構造全等三角形和直角三角形，運用勾股定理求得PC的長，進一步求得坐標

解答 解：（1）圖1，四邊形OA′B′C′的形狀是矩形；
∵點A的坐標為（-8，0），點B（-8，6），
∴AB∥OC，
∵BC∥x軸，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又OC⊥OA，
∴平行四邊形OABC的形狀是矩形；
當α=90°時，P與C重合，如圖1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，
∴$\frac{BP}{PQ}=\frac{4}{3}$，
即是矩形的長與寬的比，則$\frac{BP}{BQ}=\frac{4}{7}$．
故答案為矩形，$\frac{4}{7}$；

（2）①圖2，∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴$\frac{CP}{A'B'}=\frac{OC}{OA'}$，即$\frac{CP}{6}=\frac{6}{8}$，
∴CP=$\frac{9}{2}$，BP=BC-CP=$\frac{7}{2}$．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴$\frac{CQ}{C'O}=\frac{B'C}{B'C'}$，
∴$\frac{CQ}{6}=\frac{10-6}{8}$
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴$\frac{BP}{PQ}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{9}{2}+3}=\frac{7}{15}$，
∴$\frac{BP}{BQ}=\frac{7}{22}$；

②圖3，在△OCP和△B′A′P中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OPC=∠B'PA'}\\{∠OCP=∠A'=90°}\\{OC=B'A'}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．
設B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$．
∴S_△OPB′=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$．

（3）存在這樣的點P和點Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ．
點P的坐標是P₁（-9-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，6），P₂（-$\frac{7}{4}$，6）．
理由：
過點Q作QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=$\frac{1}{2}$PQ•OC，S_△POQ=$\frac{1}{2}$OP•QH，
∴PQ=OP．
設BP=x，
∵BP=$\frac{1}{2}$BQ，
∴BQ=2x，

如圖4，當點P在點B左側時，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x₁=1+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，x₂=1-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$（不符實際，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴P（-9-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，6）．

如圖5，當點P在點B右側時，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=$\frac{25}{4}$．
∴PC=BC-BP=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴P（-$\frac{7}{4}$，6），
綜上可知，存在點P（-9-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，6）或（-$\frac{7}{4}$，6），使BP=$\frac{1}{2}$BQ．

點評 本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理．特別注意在旋轉的過程中的對應線段相等，能夠用一個未知數表示同一個直角三角形的未知邊，解本題的關鍵是根據勾股定理列方程求解．