Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點G．點P、Q同時出發，當點P繞行一周回到點D時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點間的距離是25；
（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；
（3）當點P運動到折線EF-FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據D、E、F分別是AC、AB、BC的中點，運用三角形中位線定理即可求出DF的長；
（2）連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據△HBF∽△CBA，對應邊的比相等，就可以求得t的值；
（3）①當點P在EF上（2$\frac{6}{7}$≤t≤5時根據△PQE∽△BCA，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出t的值；②當點P在FC上（5≤t≤7$\frac{6}{7}$）時，根據PB=PF+BF就可以得到t的值．

解答 解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，

∵D，F是AC，BC的中點，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=25，
即D、F兩點間的距離是25，
故答案為：25．

（2）射線QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分．
如圖，連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，

∵D，F是AC，BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，
∴QK過DF的中點O時，即過矩形CDEF的中點，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，
此時QH=OF=12.5．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，
∴BC=40，
由BF=20，△HBF∽△CBA，可得HB=16．
故t=$\frac{QH+HB}{4}$=$\frac{12.5+16}{4}$=7$\frac{1}{8}$．

（3）①當點P在EF上（2$\frac{6}{7}$≤t≤5）時，如圖，QB=4t，DE+EP=7t，

由△PQE∽△BCA，得$\frac{PE}{AB}$=$\frac{QE}{CA}$，
即$\frac{7t-20}{50}$=$\frac{25-4t}{30}$．
∴t=4$\frac{21}{41}$；
②當點P在FC上（5≤t≤7$\frac{6}{7}$）時，如圖，已知QB=4t，從而PB=$\frac{QB}{cos∠B}$=$\frac{4t}{\frac{4}{5}}$=5t，

由PF=7t-35，BF=20，可得5t=7t-35+20．
解得t=7$\frac{1}{2}$．
綜上所述，t的值為4$\frac{21}{41}$或7$\frac{1}{2}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形性質，解題時注意：相似三角形的對應邊成比例，正確找出題目中的相似三角形是解題的關鍵．