Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kAC，點D在AC上，連接BD．

（1）如圖1，當k＝1時，BD的延長線垂直于AE，垂足為E，延長BC、AE交于點F．求證：CD＝CF；

（2）過點C作CG⊥BD，垂足為G，連接AG并延長交BC于點H．

①如圖2，若CH＝CD，探究線段AG與GH的數量關系（用含k的代數式表示），并證明；

②如圖3，若點D是AC的中點，直接寫出cos∠CGH的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，證明見解析；②cos∠CGH=．

【解析】

（1）只要證明△ACF≌△BCD（ASA），即可推出CF＝CD．

（2）結論：．設CD＝5a，CH＝2a，利用相似三角形的性質求出AM，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

（3）如圖3中，設AC＝m，則BC＝km，m，想辦法證明∠CGH＝∠ABC即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵∠ACB＝90°，BE⊥AF

∴∠ACB＝∠ACF＝∠AEB＝90°

∵∠ADE+∠EAD＝∠BDC+∠DBC＝90°，∠ADE＝∠BDC，

∴∠CAF＝∠DBC，

∵BC＝AC，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴CF＝CD．

（2）解：結論：．

理由：如圖2中，作AM⊥AC交CG的延長線于M．

∵CG⊥BD，MA⊥AC，

∴∠CAM＝∠CGD＝∠BCD＝90°，

∴∠ACM+∠CDG＝90°，∠ACM+∠M＝90°，

∴∠CDB＝∠M，

∴△BCD∽△CAM，

∴＝k，

∵CH＝CD，設CD＝5a，CH＝2a，

∴AM＝，

∵AM∥CH，

∴，

∴．

（3）解：如圖3中，設AC＝m，則BC＝km，m，

∵∠DCB＝90°，CG⊥BD，

∴△DCG∽△DBC，

∴DC2＝DGDB，

∵AD＝DC，

∴AD2＝DGDB，

∴，

∵∠ADG＝∠BDA，

∴△ADG∽△BDA，

∴∠DAG＝∠DBA，

∵∠AGD＝∠GAB+∠DBA＝∠GAB+∠DAG＝∠CAB，

∵∠AGD+∠CGH＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠CGH＝∠ABC，

∴.