Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低點的縱坐標為﹣4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，D為拋物線上的一點，BD平分四邊形ABCD的面積，求點D的坐標；

（3）如圖2，平移拋物線y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其頂點為坐標原點，直線y＝﹣2上有一動點P，過點P作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點E、F（直線PE、PF不與y軸平行），求證：直線EF恒過某一定點．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）D（﹣，﹣）；（3）見解析

【解析】

（1）先求出頂點坐標，由最低點的縱坐標為﹣4，可列方程，即可求解；

（2）連AC交BD于E，過A作AM⊥BD于M，過C作CN⊥BD于N，由三角形面積關系和全等三角形的性質可求點E坐標，可求BD解析式，即可求點D坐標；

（3）設E（t，t2），F（n，n2），可求PE解析式，由與拋物線有唯一的公共點，可求k1＝2t，即可求點P橫坐標，可得tn＝﹣2，設直線EF的解析式為y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，可求b＝2，即可得直線EF恒過定點（0，2）．

解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝（x+m﹣0.5）2﹣m2﹣m﹣0.25，

∴頂點坐標為（0.5﹣m，﹣m2﹣m﹣0.25）

∵最低點的縱坐標為﹣4，

∴﹣m2﹣m﹣0.25＝﹣4，即4m2+4m﹣15＝0，

∴m＝1.5或﹣2.5，

∵m＞0.5，∴m＝1.5．

∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

如圖，連AC交BD于E，過A作AM⊥BD于M，過C作CN⊥BD于N，

∵BD平分四邊形ABCD的面積，

∴S△ABD＝S△CBD，

∴BD×AM＝BD×CN，

∴AM＝CN，且∠AEM＝∠CMN，∠AME＝∠CNE＝90°

∴△AEM≌△CEN（AAS），

∴AE＝CE，

∴E（﹣1.5，﹣1.5），且B（1，0），

∴直線BE的解析式為y＝0.6x﹣0.6．

∴0.6x﹣0.6＝x2+2x﹣3，

解得x1＝﹣，x2＝1，

∴D（﹣，﹣）．

（3）由題意可得平移后解析式為y＝x2，

設E（t，t2），F（n，n2），

設直線PE為y＝k1（x﹣t）+t2，

由題意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0，

∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0，

∴k1＝2t．

∴直線PE為y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2．

令y＝﹣2，得xP＝，

同理，設直線PF為y＝k2（x﹣n）+n2，

∴xP＝，

∴＝，

∵t≠n，

∴tn＝﹣2．

設直線EF的解析式為y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，

∴xExF＝﹣b，即tn＝﹣b，

∴b＝2．

∴直線EF為y＝kx+2，過定點（0，2）．